Om uegentlige integraler

Vi skal i dette tillegget referere noen av resultatene vi trenger om uegentlige integraler i forbindelse med Fourierintegraler, nærmere bestemt i beviset for Fouriers integralteorem.

Fubinis teorem

Vi fikk i forbindelse med Fourierintegralet bruk for å kunne bytte om integrasjons-rekkefølgen i dobbelt-integraler. Vi ser først på fø lgende eksempler:

Vi får altså forskjellig svar, selv om funksjonen bare har en diskontinuitet, og denne er ikke engang inkludert i integrasjonsområdet. Som vi ser av ovenstående eksempel må vi enkelte ganger være forsiktig med å bytte om på integrasjonsrekkefølgen i itererte integraler. For endelige integrasjonsområder og kontinuerlige funksjoner kan vi bytte integrasjonsrekkefølgen fritt når integranden er kontinuerlig, men vi er altså ikke alltid garantert samme positive resultat når vi integrerer over uendelige områder.

Remediet kom først med Lebesgue (som gjorde mesteparten av arbeidet), og siden fra Fubini Note_1 og Tonelli Note_2 , som videreførte Lebesgues arbeid. Fubinis bevis var ikke komplett og Tonelli utvidet Lebesgues ideer fra begrensete funksjoner til det generelle tilfellet. Igjen er det kanskje litt urettferdig at det er Fubinis navn som gjerne henger ved dette resultatet.

Beviset for Fubinis teorem kan finnes i bøker om videregående analyse, f.eks. i [B] og [TWK, s.226ff], men det er ganske omstendelig og avansert. En målteoretisk utgave av teoremet finnes i [R, s.307ff], men her forutsetter man altså generell målteori før beviset.

I lys av dette teoremet, hva gikk galt i eksemplet ovenfor? Vi skal integrere over følgende skraverte område:

For å få samme situasjon som i teoremet bør vi redefinere ved

Se på

Her blir

og dette gir oss da at

Grensen for denne er

Dermed kan vi se at integralet ikke konvergerer og ovenstående variant av Fubinis teorem kan ikke brukes her.

Weierstrass M-test

I beviset for Fouriers integralteorem i kapittel 6 ble det påstått at et uegentlig integral konvergerer uniformt ved Weierstrass M-test. Vi trenger først følgende definisjon:

Det er litt uklart hva som egentlig er Weierstrass M-test for uegentlige integraler. Testen blir referert til i en mengde bøker, men det er få som nevner hvordan resultatet ser ut. Rekkevarianten er velkjent, den sier at for alle (her er en eller annen felles definisjonsmengde for ) samt at rekken er konvergent, medfører at er uniformt konvergent på For uegentlige integraler bruker vi følgende analoge resultat:

La oss se en gang til på situasjonen i beviset for Fouriers integralteorem. I beviset har vi og Her er og substitusjonen som er brukt i beviset, gir videre at

siden er antatt absolutt integrerbar i teoremet. Altså vil konvergere uniformt for ved -testen.

Når integranden er kontinuerlig (eller stykkevis kontinuerlig) m.h.p. og har vi opplagt at

når integrasjonsområdet er endelig. Det vi trenger i beviset er å vite hva som skjer når Til en gitt finner vi derfor en s.a. medfører at

siden det innerste integralet konvergerer uniformt for . På grunn av () har vi da at

Men dette holder jo for alle og dermed vet vi at

eksisterer med samme verdi som

Litteratur

\lbrack R]	Royden, H.L: Real Analysis
	Prentice Hall, Inc (1988); ISBN: 0-02-404151-3
\lbrack B]	Buck, R.C.: Advanced Calculus 3 ed.
	The McGraw Hill Companies, New York (1978); ISBN: 0070087288
\lbrack TWK]	Körner, T.W.: Fourier Analysis
	Cambridge university press (1988); ISBN: 0-521-25120-6
\lbrack B/C]	Brown, Churchill: Fourier series and boundary value problems, 6 ed.
	McGraw-Hill Higher education (2001); ISBN: 0071181512

Neste: Gibbs fenomen