Gibbs' fenomen

Vi har brukt en del tid på å vise hvordan Fourier-rekker konvergerer. Nå er det på tide å vise at de ikke konvergerer så bra i alle tenkelige situasjoner. La oss se på Gibbs' fenomen Note_1 som er betegnende for hva som skjer med Fourierrekker nær diskontinuiteter.

Michelson konstruerte en maskin som kunne finne en funksjon ut fra dens Fourierkoeffisienter. Etter å matet 80 koeffisienter inn i maskinen forventet Michelson å få ut en sagblad-funksjon, men fikk en utgave med to små ''hatter'' nær diskontinuitetspunktene. Denne egenskapen er kanskje enda lettere å observere når vi ser på Fourierrekka vi diskuterte i kapittel 1. Vi plotter den 35'te partialsummen i Fourierrekka, og får følgende graf:

Problemet ble omtalt av Gibbs i to brev han skrev til Nature i 1899. Hatten like til høyre for 0 er litt høyere enn grensen til funksjonen når vi nærmer oss fra høyre. Verdien vi skulle ønske rekka hadde er , men den ser ut til å være nærmere . Det samme fenomenet inntreffer på undersiden av grafen når vi nærmer oss fra venstre. Selv om vi hadde plottet mange flere ledd i partialsummen, hadde ikke disse sup- og inf-verdiene til partialsummen ligget noe nærmere grafen. Dette til tross for at vi har punktvis konvergens på Slik er dette også en god demonstrasjon på forskjellen mellom uniform og punktvis konvergens. Slike fenomener inntrer ikke ved uniform konvergens. En snodig detalj oppi det hele. Igjen er det kanskje feil mann som har fått navnet sitt hengende ved begrepet. Henry Wilbraham hadde nemlig gjordt de samme observasjoner over 50 år tidligere. I tillegg kom litt senere (1906) Maxime Bôcher mye lenger i sine analyser, nemlig ved å vise at en feil på 9% er en generell egenskap ved Fourierrekker nær diskontinuitetspunkter. Så Gibbs kom ikke først med resultatet, ga ikke ut noe bevis og begrenset seg til et spesialtilfelle. Likevel kalles dette i dag Gibbs' fenomen.

Som et eksempel [B/N/B, s.481f] ser vi på funksjonen

Vi skal vise at feilen til partialsummen er ca. 9% av størrelsen til diskontinuiteten, både over og under grafen til denne funksjonen. Vi regner først ut Fourierrekka til . Vi merker oss at er en odde funksjon, og dermed er også odde, slik at

Vi finner også

Altså er

Vi setter derfor slik at for . Fourierrekka blir da

Vi vet nå, etter Dirichlets bevis, at denne konvergerer punktvis mot bortsett fra der vi har diskontinuitetspunkter. Det har vi i og det er rundt dette punktet vi skal observere Gibbs' fenomen. Vi lar betegne 'te partialsum til Fourierrekka,

Vi bruker som vanlig derivasjon for å undersøke ekstremalverdier. Derivasjon av partialsummen gir

Vi ser først at

Anta . Multilpliser så rekka med Igjen trenger vi den trigonometriske identiteten

Vi får da

Altså er

Kritiske punkt for er da Det gir at de nærmeste kritiske punkt ligger på Nå har fast fortegn nær så vi ser vi har topp for og bunn for Vi konsentrer oss om høyresiden av , da venstre side har tilsvarende argument. Plasseringen til disse toppene vil nærme seg både fra høyre og venstre hver for seg når går mot uendelig. Ved å sette inn for finner vi

Den siste summen er en Riemann-sum for på intervallet med maskevidde Når vil derfor denne summen konvergere mot Riemann-integralet

slik at

Dette er et kjent integral og verdien finnes i tabeller. Denne verdien er omlag . Vi kan tilnærme verdien ved Taylorpolynomet til nær 0,

som gir

En tilnærmelse med to desimaler her blir 1.18. Derfor har vi

altså er verdien til partialsummen når vi nærmer oss 0 fra høyre omtrent 9% større enn størrelsen på diskontinuiteten. Generelt kan vi si

og

Litteratur